大哥抽代
🚧 Background 由于本科学的抽代和现在学的都是中文授课的内容,因此在这篇文章中我将搞一搞中英对照,同时希望抄一抄定义可以让自己记得更加清楚一点. Group 这部分的定义和定理都比较多, 因为给定的东西比较少, 本身Group的理论用很少的东西构建起这么多的东西就很神奇, 因此这部分也比较复杂, 一些定理我也计划抄一下证明. Basic Definition 设$G$是一个非空集合, 在$G$上定义了一个二元运算$\cdot$满足 封闭律: $ \forall a, b \in G, a \cdot b \in G$ 结合律: $\forall a, b, c \in G, (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$ 幺元: $\exists e \in G, \forall a \in G, ea = ae = a$ 逆元: $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, aa^{-1} = a^{-1} a = e$ 交换律: $\forall a, b \in G, ab=ba$ 定义: 半群(semigroup): 设G是一个非空集合, 满足上面的1, 2 定义:含幺半群(monoid): 设G是一个非空集合, 满足上面的1, 2, 3 定义: 群(group): 设G是一个非空集合, 满足上面的1, 2, 3, 4 定义: 可换群, 交换群, 阿贝尔群(abelian group, commutative group): 设G是一个非空集合, 满足上面的1, 2, 3, 4, 5 定义: 群的阶(order): 群元素的个数 定义:左单位元(left identity)和右单位元(right identity)在半群 left identity: 元素$e_L$, $\forall a \in G, e_L a = a$. right identity: 元素$e_R$, $\forall a \in G, a e_R = a$. 定理: 若半群同时有左单位元和右单位元, 则他们相等, 且是唯一的单位元 定义: 左逆元(left inverse)和右逆元(right inverse)在含幺半群 left inverse: 若存在$a_L^{-1}$使得$a_L^{-1}a = e$ right inverse: 若存在$a_R^{-1}$使得$aa_R^{-1} = […]
