Skirrey's Blog

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Background

由于本科学的抽代和现在学的都是中文授课的内容,因此在这篇文章中我将搞一搞中英对照,同时希望抄一抄定义可以让自己记得更加清楚一点.

Group

这部分的定义和定理都比较多, 因为给定的东西比较少, 本身Group的理论用很少的东西构建起这么多的东西就很神奇, 因此这部分也比较复杂, 一些定理我也计划抄一下证明.

Basic Definition

设$G$是一个非空集合, 在$G$上定义了一个二元运算$\cdot$满足

1. 封闭律: $ \forall a, b \in G, a \cdot b \in G$
2. 结合律: $\forall a, b, c \in G, (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$
3. 幺元: $\exists e \in G, \forall a \in G, ea = ae = a$
4. 逆元: $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, aa^{-1} = a^{-1} a = e$
5. 交换律: $\forall a, b \in G, ab=ba$

定义: 半群(semigroup):

设G是一个非空集合, 满足上面的1, 2

定义:含幺半群(monoid):

设G是一个非空集合, 满足上面的1, 2, 3

定义: 群(group):

设G是一个非空集合, 满足上面的1, 2, 3, 4

定义: 可换群, 交换群, 阿贝尔群(abelian group, commutative group):

设G是一个非空集合, 满足上面的1, 2, 3, 4, 5

定义: 群的阶(order): 群元素的个数

定义:左单位元(left identity)和右单位元(right identity)在半群

left identity: 元素$e_L$, $\forall a \in G, e_L a = a$.

right identity: 元素$e_R$, $\forall a \in G, a e_R = a$.

定理: 若半群同时有左单位元和右单位元, 则他们相等, 且是唯一的单位元

定义: 左逆元(left inverse)和右逆元(right inverse)在含幺半群

left inverse: 若存在$a_L^{-1}$使得$a_L^{-1}a = e$

right inverse: 若存在$a_R^{-1}$使得$aa_R^{-1} = e$

定理: 若含幺半群的群元素a同时有左逆元和右逆元, 则他们相等, 且是唯一的单位元

定理: 群的判定定理

半群$(G, \cdot)$是群的充要条件:

1. G中有左单位元
2. $\forall a\in G, \exists a^{-1}\in G, a^{-1} a = e_L$

证明:

左逆元是右逆元: 考虑$a^{-1}$的左逆元$(a^{-1})^{-1}$, 于是$aa^{-1}  = e_L a a^{-1} =(a^{-1})^{-1} (a^{-1} a )a ^{-1} = (a^{-1})^{-1} a ^{-1} = e_L $

左单位元是右单位元:$\forall a \in G, ae_L = (a a^{-1}) a = e_L a = a$

再根据上面的两个定理显然

定理: 群的判定定理

半群$(G, \cdot)$是群的充要条件:

$\forall a, b \in G, ax=b, ya=b$在G中均有解

证明:

必要性显然, 充分性:

利用上一个定理, 任一元素有左逆元显然, 下面证明有左单位元, 我们先搞到左单位元: 考虑$ya=a$的解, 设为$e$, 下面试试把它扩展到所有元素, 给刚刚的方程右粘上元素即可. $\forall b \in G$, 有$ax=b$有解$g_b$,于是$eag_b = ag_b$也就是$eb = b, \forall b \in G$

定理: 群的判定定理

有限半群$(G, \cdot)$是群的充要条件:

方程的左右消去律成立, 也就是

1. $ax=ay \Rightarrow x = y$
2. $xa=ya \Rightarrow x = y$

证明:

必要性显然, 下证明充分性:

考虑$G’ = aG, a\in G$, 于是由于消去律有$|G| = |G’|$进而$G=G’$于是$ax=b$在$G$有解. 同理$ya=b$也一样, 根据上面的定理显然.

SubGroup

定义: 子群(subgroup):

考虑$S \subset G$, 且非空, $S$对$G$的运算也成群, 则$S$是$G$的子群, 记作$S \le G$

当$S \ne G$时, 记作$S < G$, 真子群(proper subgroup)

定理: 子群的判定定理:

S是群G的非空子集, 以下命题等价:

1. $S \le G$
2. $\forall a, b \in S, ab \in S, a^{-1}\in S$
3. $\forall a, b \in S, ab^{-1} \in S$

子群的一些性质:

1. $H\le G$, 则H的单位元就是G的单位元
2. $H_1, H_2 \le G \Rightarrow H_1 \cap H_2 \ le G$
3. $H_1, H_2 \le G$, 有$H_1 \cup H_2 \le G \Leftrightarrow H_1 \subseteq H_2$或者$H_2 \subseteq H_1$
4. $H_1, H_2 \le G$, 有$H_1H_2 \le G \Leftrightarrow H_1H_2 = H_2H_1$

定义: 元素的阶(order), 也称周期(period):

$o(a) = \min_{m} a^m = e, m \in \mathbb{Z}$

Cyclic group and generating set

定义: 循环群(cyclic group)

G是一个群, $G = <a> = \{a^{k}, k \in \mathbb{Z}\}$

定义: 生成集(generating set)

G是一个群, $S\subset G$, 类似地记$G=<S> = \{a_1^{k_1}a_2^{k_2}… | a_i\in S, k_i \in \mathbb{Z}\}$

若$S$不可去掉任何元素来生成$G$, 则称$S$为$G$的极小生成元集(minimum generating set), 当$S$的阶有限时, 显然存在最小的, 称其为最小生成元集(minimal generating set)

Isomorphism of group

定义: 设$(G, \cdot)$和$(G’, \circ)$是两个群, 若存在一个G到G’的双射$f$满足:

$$
f(a \cdot b)=f(a) \circ f(b), \forall a, b \in G
$$

则$f$是从G到G’的一个同构(isomorphism), 记作$G \stackrel{f}{\cong} G^{\prime}$

有了同构之后, 我们可以分析循环群的性质, 发现循环群从同构的意义上结构是确定的

定理: 循环群同构的定理:

设$G=<a>$是由a生成的循环群, 那么

1. 若$o(a)=\infty$, 则$G\cong (Z, +)$
2. 若$o(a) = n$, 则$G\cong (Z_n, +)$, 此时称G为n阶循环群有符号$C_n$

很容易发现无限循环群的生成元在同构意义下只有1或者-1, 而有限循环群的生成元则和n互素的元素都可以, 也就因此有$\phi (n)$ 个

Symmetric group & Cayley定理

定义: 对称群(symmetric group):

考虑非空集合A, A上所有的双射作为元素, 映射的符合作为二元运算所构成的群被称为对称群, 特别地, 当$|A| \le \infty$时, 我们记作$S_n$, 显然$|S_n| = n!$

特别地, 我们称对称群的子群为变换群, 特别特别地, $S_n$的任何子群被称作n次置换群

定义: 轮换(cycle)和对换(transposition):

显然若r是一个n次的置换, 则不妨考虑元素$\{1,2,3, …, n\}$, 我们有时可以这样整理元素: $r(a_i) = a_{i + 1}, i \le l-1, r(a_l) = a_1$且$r(a) = a, if \quad a \ne a_i$, 这些性质已经足够表示r了, 因此我们记$r = (a_1a_2a_3…a_l)$, 称其为长度$l$的轮换, 特别地若$l = 2$, 则称其为对换

上面并不能表示所有的置换, 但是我们可以将置换表示成互相没有相同元素(不相交)的轮换之积

定理: 置换的轮换分解:

我们可以将n次置换$\sigma$分解为k个不相交的置换之积, 也就是$\sigma = r_1 r_2 … r_k$并且分解在不计次序的前提下是唯一的

同时我们很容易证明$o(\sigma) = [l_1, l_2, …, l_k]$, 其中$l_i$是$r_i$的长度

定理: 置换的对换分解:

任何一个置换可以分解为对换之积, 也就是$\sigma = \pi_1 \pi_2 …\pi_k$其中$\pi_i$是对换, 并且$k$的奇偶性由$\sigma$唯一确定

证明只需要将轮换分解成对换即可, 比如考虑

$$
(i_1i_2…i_l) = (i_1i_l)(i_1i_{l-1})…(i_1i_2)
$$

子群的陪集和Lagrange定理

正规子群和商群

共轭元和共轭子群

群同态

群对集合的作用, Burnside Lemma

群的直积和有限交换群

有限群的结构和Sylow定理